11. С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 2 м, чтобы он подпрыгнул на максимальную высоту 4 м? Удар считать абсолютно упругим.

Дано:

• \( h_1 = 2 \text{ м} \) - высота, с которой бросают мяч
• \( h_2 = 4 \text{ м} \) - максимальная высота подъема после удара

Найти: \( v_0 \) - начальная скорость, с которой надо бросить мяч вниз.

Решение:

При абсолютно упругом ударе вся кинетическая энергия мяча перед ударом переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте подъема после удара. Обозначим скорость мяча перед ударом о землю как \( v_\text{уд} \). Тогда, по закону сохранения энергии:

$$mgh_2 = \frac{1}{2} m v_\text{уд}^2$$

$$v_\text{уд} = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 4} = \sqrt{78.4} \approx 8.85 \text{ м/с}$$

Теперь рассмотрим падение мяча с высоты \( h_1 \) с начальной скоростью \( v_0 \). По закону сохранения энергии:

$$mgh_1 + \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_\text{уд}^2$$

$$v_0 = \sqrt{v_\text{уд}^2 - 2gh_1} = \sqrt{78.4 - 2 \cdot 9.8 \cdot 2} = \sqrt{78.4 - 39.2} = \sqrt{39.2} \approx 6.26 \text{ м/с}$$

Ответ: 6.26 м/с