С1. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке К. Найдите радиус окружности, если СК = 4 см.

Логика решения: 1. Визуализация: Представь окружность с диаметром \(AB\), хордой \(AC\) и касательной \(CK\). Угол между диаметром \(AB\) и хордой \(AC\) равен 30°. 2. Углы в треугольнике ABC: Угол \(\angle ACB\) прямой, так как опирается на диаметр. Следовательно, \(\angle ACB = 90^\circ\). * \(\angle BAC = 30^\circ\) (дано). * \(\angle ABC = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ\). 3. Угол между касательной и хордой: Угол между касательной \(CK\) и хордой \(AC\) равен углу, опирающемуся на эту хорду, то есть \(\angle ABC = 60^\circ\). Следовательно, \(\angle ACK = 60^\circ\). 4. Углы в треугольнике ACK: * \(\angle CAK = 30^\circ\). * \(\angle ACK = 60^\circ\). * \(\angle AKC = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ\). Значит, \(\triangle AKC\) — прямоугольный. 5. Длина AK: В прямоугольном треугольнике \(\triangle AKC\) против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, \(AC = 2 \cdot CK = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}\). 6. Длина AB: В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) \(\angle BAC = 30^\circ\), значит, \(BC = \frac{1}{2} AB\). Используем теорему Пифагора: * \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) * \(AB^2 = 8^2 + (\frac{1}{2} AB)^2\) * \(AB^2 = 64 + \frac{1}{4} AB^2\) * \(\frac{3}{4} AB^2 = 64\) * \(AB^2 = \frac{4}{3} \cdot 64\) * \(AB = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ см}\) 7. Радиус окружности: Радиус равен половине диаметра: \[R = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см}\] Радиус окружности равен \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) см.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный радиус соответствует геометрическим соотношениям в задаче.

Уровень Эксперт: Умение видеть и использовать свойства углов и касательных — ключ к решению сложных геометрических задач!