С1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ на ребре $$DD_1$$ выбрана точка $$E$$ так, что $$DE : ED_1 = 1 : 2$$. Вычислите косинус угла между прямыми $$AE$$ и $$CE$$.

Пусть ребро куба равно 3a. Тогда $$DE = a$$, $$ED_1 = 2a$$. Введем систему координат с началом в точке A, ось x направим по AB, ось y - по AD, ось z - по $$AA_1$$.

Тогда координаты точек:

$$A(0; 0; 0)$$, $$E(0; 3a; a)$$, $$C(3a; 3a; 0)$$

Найдем координаты векторов $$\vec{AE}$$ и $$\vec{CE}$$:

$$\vec{AE} = (0 - 0; 3a - 0; a - 0) = (0; 3a; a)$$

$$\vec{CE} = (0 - 3a; 3a - 3a; a - 0) = (-3a; 0; a)$$

Найдем длины векторов $$\vec{AE}$$ и $$\vec{CE}$$:

$$|\vec{AE}| = \sqrt{0^2 + (3a)^2 + a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10}$$

$$|\vec{CE}| = \sqrt{(-3a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10}$$

Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{AE}$$ и $$\vec{CE}$$:

$$\vec{AE} \cdot \vec{CE} = 0 \cdot (-3a) + 3a \cdot 0 + a \cdot a = a^2$$

Найдем косинус угла между векторами $$\vec{AE}$$ и $$\vec{CE}$$:

$$cos(\angle (\vec{AE}, \vec{CE})) = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{CE}}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{CE}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{10} \cdot a\sqrt{10}} = \frac{a^2}{10a^2} = \frac{1}{10}$$