С1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ на ребре $$DD_1$$ выбрана точка E так, что $$DE:ED_1 = 1:2$$. Вычислите косинус угла между прямыми $$AE$$ и $$CE$$.

Пусть длина ребра куба равна $$3a$$. Тогда $$DE = a$$ и $$ED_1 = 2a$$. Введем систему координат с началом в точке $$A$$ и осями, направленными вдоль ребер $$AB$$, $$AD$$ и $$AA_1$$. Тогда координаты точек будут следующими:

• $$A(0; 0; 0)$$
• $$C(3a; 3a; 0)$$
• $$E(0; 0; a)$$

Векторы $$AE$$ и $$CE$$ имеют координаты:

• $$\vec{AE} = (0; 0; a)$$
• $$\vec{CE} = (-3a; -3a; a)$$

Косинус угла между векторами равен:

$$\cos(\angle(AE, CE)) = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{CE}}{|AE| \cdot |CE|}$$

Найдем скалярное произведение и длины векторов:

• $$\vec{AE} \cdot \vec{CE} = 0 \cdot (-3a) + 0 \cdot (-3a) + a \cdot a = a^2$$
• $$|AE| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a$$
• $$|CE| = \sqrt{(-3a)^2 + (-3a)^2 + a^2} = \sqrt{9a^2 + 9a^2 + a^2} = \sqrt{19a^2} = a\sqrt{19}$$

Тогда:

$$\cos(\angle(AE, CE)) = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{19}} = \frac{1}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{19}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{19}}{19}$$