С1. Через середину диагонали KM прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках A и B соответственно. Известно, что AB = BM = 6 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Обозначим KL = MN = w, а KN = LM = h. Расположим прямоугольник так: K(0; h), L(w; h), M(w; 0), N(0; 0). Середина диагонали KM — центр прямоугольника. Прямая через этот центр, перпендикулярная KM, пересекает параллельные стороны KL и MN в A и B; центральная симметрия относительно центра прямоугольника переводит A в B. Поэтому центр является серединой AB, а AB равно диагонали KM.

Следовательно, KM = AB = 6 см. Обозначим координату B через (x; 0). Тогда BM = w − x = 6. Так как прямая AB перпендикулярна KM, из её наклона следует x = h²/(2w) + w/2, откуда BM = (w² − h²)/(2w).

Используем KM² = w² + h² = 36 и BM = 6: (w² − h²)/(2w) = 6. Значит, w² − h² = 12w. Складывая это равенство с w² + h² = 36, получаем 2w² = 36 + 12w, то есть w² − 6w − 18 = 0. Положительный корень: w = 3 + 3√3.

Тогда h² = 36 − w², откуда h = 3√(2√3 − 1). Сравним стороны: (3 + 3√3)² − h² = 12w > 0, значит, w — большая сторона.

Ответ: 3 + 3√3 см.