A4. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 3 см, ∠APK = 60°. Чему равен периметр четырёхугольника PMEK? Варианты: 1) 20 см; 2) 36 см; 3) 24 см; 4) 12 см.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). В прямоугольном треугольнике \(APK\) угол при \(A\) равен \(90^\circ\), а \(\angle APK=60^\circ\). Поэтому треугольник \(APK\) — прямоугольный с углами \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\), и против угла \(30^\circ\text{ лежит }AK=3\) см. Значит, \(AP=3\sqrt3\) см.

Следовательно, сторона квадрата \(a=AP+PB=3\sqrt3+PB\), однако для периметра достаточно использовать поворот на \(90^\circ\): отрезки \(PM\text{ и }ME, EK, KP\text{ попарно равны,}\) а каждый равен диагонали соответствующего прямоугольного треугольника с катетами \(3\) и \(3\sqrt3\): \(PM=ME=EK=KP=6\) см.

Периметр равен \(4\cdot6=24\) см.

Ответ: 24 см (вариант 3).