С1. Докажите тождество: $\dfrac{6}{a^2-6a}-\dfrac{a^2}{6-a}=a+6+\dfrac{36a+6}{a^2-6a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: С1. Докажите тождество: $\dfrac{6}{a^2-6a}-\dfrac{a^2}{6-a}=a+6+\dfrac{36a+6}{a^2-6a}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $a\ne0$, $a\ne6$. Используем равенство $6-a=-(a-6)$:

\[\frac{6}{a^2-6a}-\frac{a^2}{6-a}=\frac{6}{a(a-6)}+\frac{a^2}{a-6}=\frac{6+a^3}{a(a-6)}.\]

Преобразуем правую часть:

\[a+6+\frac{36a+6}{a^2-6a}=\frac{(a+6)a(a-6)+36a+6}{a(a-6)}=\frac{a^3-36a+36a+6}{a(a-6)}=\frac{a^3+6}{a(a-6)}.\]

Левая и правая части равны при всех допустимых значениях $a$, следовательно, тождество доказано.

С1. Докажите тождество: \(\dfrac{6}{a^2-6a}-\dfrac{a^2}{6-a}=a+6+\dfrac{36a+6}{a^2-6a}\).