С1. При каких целых $n$ значение выражения $(n-2)^2:n^2$ является целым числом?

Question

Вопрос: $Фото задания: С1. При каких целых $n$ значение выражения $(n-2)^2:n^2$ является целым числом?$ Фото задания

Accepted Answer

Требуется, чтобы

\[\frac{(n-2)^2}{n^2}=\left(1-\frac{2}{n}\right)^2\]

было целым числом. При $|n|\ge 3$ имеем $0<\left|1-\frac2n\right|<2$, поэтому возможное целое значение — только $1$. Тогда

\[\frac{(n-2)^2}{n^2}=1\Rightarrow (n-2)^2=n^2\Rightarrow -4n+4=0\Rightarrow n=1.\]

При $n=1$ значение равно $1$. При $n=2$ значение равно $0$. При $n=0$ выражение не определено.

Ответ: $n=1$ и $n=2$.

С1. При каких целых \(n\) значение выражения \((n-2)^2:n^2\) является целым числом?