С1. Составив уравнение, решите задачу: Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( x \) — собственная скорость баржи (в км/ч).

Скорость баржи по течению: \( x + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( x - 5 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{40}{x+5} \) часов.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{30}{x-5} \) часов.

Общее время в пути составило 5 часов. Составим уравнение:

\[ \frac{40}{x+5} + \frac{30}{x-5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (x+5)(x-5) \) (при \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \)):

\[ 40(x-5) + 30(x+5) = 5(x+5)(x-5) \]

\[ 40x - 200 + 30x + 150 = 5(x^2 - 25) \]

\[ 70x - 50 = 5x^2 - 125 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 5x^2 - 70x - 125 + 50 = 0 \]

\[ 5x^2 - 70x - 75 = 0 \]

Разделим на 5:

\[ x^2 - 14x - 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]

Корень из дискриминанта \( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-14) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ x_2 = \frac{-(-14) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, \( x = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч.