С1. Сумма первых 100 членов некоторой геометрической прогрессии в 2 раза больше суммы квадратов первых 50 членов этой же прогрессии. Найдите знаменатель прогрессии, если второй ее член равен 21.

Пусть прогрессия имеет первый член b₁ и знаменатель q. Тогда b₂ = b₁ * q = 21.
Сумма первых 100 членов: S₁₀₀ = b₁ * (1 - q¹⁰⁰) / (1 - q).
Сумма квадратов первых 50 членов: (b₁)² + (b₂)² + ... + (b₅₀)² = b₁² + (b₁q)² + ... + (b₁q⁴⁹)² = b₁² * (1 + q² + ... + q⁹⁸). Это геометрическая прогрессия с первым членом b₁² и знаменателем q². Ее сумма равна b₁² * (1 - (q²)^50) / (1 - q²) = b₁² * (1 - q¹⁰⁰) / (1 - q²).
По условию: S₁₀₀ = 2 * [b₁² * (1 - q¹⁰⁰) / (1 - q²)].
b₁ * (1 - q¹⁰⁰) / (1 - q) = 2 * b₁² * (1 - q¹⁰⁰) / ((1 - q)(1 + q)).
Сокращая одинаковые множители (при условии, что q ≠ 1 и q ≠ -1, и b₁ ≠ 0, и q¹⁰⁰ ≠ 1), получаем: 1 = 2 * b₁ / (1 + q).
1 + q = 2 * b₁.
Подставляем b₁ = 21/q: 1 + q = 2 * (21/q).
1 + q = 42/q.
q + q² = 42.
q² + q - 42 = 0.
Решаем квадратное уравнение: (q + 7)(q - 6) = 0.
Возможные значения знаменателя: q = 6 или q = -7.