С1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре DD₁ выбрана точка E так, что DE : ED₁ = 1 : 3. Вычислите косинус угла между прямыми AE и CE.

Пусть ребро куба равно \(a\). Выберем координаты: \(A(0,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(D₁(0,a,a)\). Из отношения \(DE:ED₁=1:3\) следует, что \(DE=a/4\), поэтому \(E(0,a,a/4)\).

Направляющие векторы прямых AE и CE можно взять в виде \(\overrightarrow{EA}=(0,-a,-a/4)\) и \(\overrightarrow{EC}=(a,0,-a/4)\). Их скалярное произведение равно \(a²/16\), а длина каждого вектора — \(a\sqrt{17}/4\).

По формуле косинуса угла между прямыми:

\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EC}|}{|\overrightarrow{EA}|\,|\overrightarrow{EC}|}=\frac{a²/16}{(a\sqrt{17}/4)^2}=\frac{1}{17}.\]

Ответ: \(\frac{1}{17}\).