С1. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ перпендикулярна боковой стороне трапеции. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 12 см, а один из углов трапеции равен 120°.

Пусть большее основание равно 12 см, меньшее — x см, а высота — h. В равнобедренной трапеции углы при большем основании острые, а углы при меньшем — тупые. Горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен (12 − x)/2.

Так как один из углов равен 120°, острый угол равен 60°. Поэтому h = ((12 − x)/2)·tan 60° = (12 − x)√3/2.

Диагональ не может быть перпендикулярна боковой стороне, образующей тупой угол 120° с основанием. Рассмотрим диагональ, перпендикулярную другой боковой стороне. Их направляющие векторы можно записать как ((12 + x)/2; h) и (−(12 − x)/2; h). Перпендикулярность означает, что скалярное произведение равно нулю:

−(12 + x)(12 − x)/4 + h² = 0.

Подставим h² = 3(12 − x)²/4. Поскольку 12 − x > 0, получаем 12 + x = 3(12 − x), откуда x = 6 см. Тогда h = 3√3 см.

Площадь трапеции:

S = ((12 + 6)/2)·3√3 = 27√3 см².

Ответ: 27√3 см².