С2. Решите уравнение \(\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2-9\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2=8\).

ОДЗ: \(x\neq1\) и \(x\neq-2\). Обозначим \(t=\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2\). Тогда \(\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2=\frac{1}{t}\), причём \(t>0\).

Решим уравнение относительно \(t\):

\(t-\frac{9}{t}=8\),
\(t^2-8t-9=0\),
\((t-9)(t+1)=0\).

С учётом \(t>0\) получаем \(t=9\). Значит, \(\frac{x+2}{x-1}=3\) или \(\frac{x+2}{x-1}=-3\).

В первом случае: \(x+2=3x-3\), откуда \(x=\frac{5}{2}\). Во втором случае: \(x+2=-3x+3\), откуда \(x=\frac{1}{4}\). Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ: \(x=\frac{1}{4}\) или \(x=\frac{5}{2}\).