Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: С5. Решите систему уравнений: а) …; б) \(\begin{cases}x-4y-8\sqrt{x-4y+16}=0,\\x+4y-16\sqrt{x+4y+64}=0.\end{cases}\)Фото задания

Ответ:

Обозначим \(u=\sqrt{x-4y+16}\) и \(v=\sqrt{x+4y+64}\); оба числа неотрицательны.

  1. Первое уравнение преобразуется к \(u^2-16=8u\), то есть \(u^2-8u-16=0\). Отсюда \(u=4+4\sqrt2\): второй корень отрицателен. Поэтому \(x-4y=8u=32+32\sqrt2\).
  2. Второе уравнение даёт \(v^2-64=16v\), то есть \(v^2-16v-64=0\). Отсюда \(v=8+8\sqrt2\). Поэтому \(x+4y=16v=128+128\sqrt2\).
  3. Складывая и вычитая полученные равенства, находим \(x=80+80\sqrt2\) и \(y=12+12\sqrt2\).

Подстановка даёт значения квадратных корней \(u=4+4\sqrt2\) и \(v=8+8\sqrt2\), поэтому найденная пара удовлетворяет системе.

Ответ: \((80+80\sqrt2;12+12\sqrt2)\).