Самостоятельная работа по теме «Параллелограмм». Вариант 2. 1. В четырёхугольнике ABCD: AB ∥ CD, BC ∥ AD, O — точка пересечения диагоналей. Периметр △AOD равен 25 см, AC = 16 см, BD = 14 см. Найдите BC. 2. В параллелограмме ABCD с острым углом A из вершины B опущен перпендикуляр BK к прямой AD, AK = BK. Найдите ∠C, ∠D. 3. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 24° больше другого.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(AO = AC : 2 = 8\) см, \(DO = BD : 2 = 7\) см.

Из периметра треугольника AOD находим \(AD = 25 - 8 - 7 = 10\) см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому \(BC = AD = 10\) см.

2. Треугольник ABK прямоугольный, причём его катеты AK и BK равны. Значит, он равнобедренный прямоугольный, и \(\angle BAK = 45°\). Так как K лежит на прямой AD, это острый угол A параллелограмма. Тогда \(\angle C = \angle A = 45°\), а \(\angle D = 180° - 45° = 135°\).

3. Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180°\). Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший — \(x + 24°\). Получаем \(x + x + 24° = 180°\), откуда \(x = 78°\), а больший угол равен \(102°\). Противоположные углы равны.

Ответ: 1) 10 см; 2) ∠C = 45°, ∠D = 135°; 3) углы параллелограмма — 78°, 102°, 78°, 102°.