Саша хочет оборвать карандаш, отрывая ребро дважды. Можно ли это сделать? Какой граф?

Задачу можно интерпретировать как задачу о прохождении графа. Карандаш можно представить как пространственную фигуру, а ребра — как линии, которые нужно пройти.

Оборвать карандаш, отрывая ребро дважды, означает пройти все ребра фигуры, при этом некоторые ребра будут пройдены дважды, а остальные — один раз. Цель — чтобы каждое ребро было пройдено ровно один раз (если бы это было возможно). Однако, формулировка "отрывая ребро дважды" подразумевает, что некоторые ребра будут пройдены дважды, а общая задача — пройти все ребра.

Рассмотрим карандаш как комбинацию призм. Если взять простейший вариант — куб, то у куба 12 ребер. Если Саша хочет "оборвать" карандаш, пройдя каждое ребро ровно один раз, это возможно, если граф является Эйлеровым (есть Эйлеров путь или цикл). Эйлеров путь существует, если в графе не более двух вершин с нечетной степенью (вершины, из которых выходит нечетное число ребер). Эйлеров цикл существует, если все вершины имеют четную степень.

Однако, формулировка "отрывая ребро дважды" сбивает с толку. Если имеется в виду, что Саша хочет пройти по всем ребрам, и при этом суммарно пройти ровно 12 ребер (как у куба), но два из них будут пройдены дважды, это значит, что общее количество проходов по ребрам будет 12 + 2 = 14. Это означает, что сумма степеней всех вершин в графе должна быть равна 14.

Если задача имеет в виду, что Саша проходит по всем ребрам, и в процессе он проходит два ребра по два раза, а остальные — по одному разу, и при этом он хочет "оторвать" карандаш (т.е. пройти его полностью), то это сводится к поиску возможности такого прохода.

Граф:

Представим карандаш как прямоугольный параллелепипед. У прямоугольного параллелепипеда:

• 8 вершин
• 12 ребер
• 6 граней

У каждой вершины параллелепипеда степень равна 3 (исходит 3 ребра). Таким образом, у нас 8 вершин с нечетной степенью.

Анализ:

Для того чтобы пройти все ребра графа, необходимо, чтобы граф имел Эйлеров путь или цикл.

• Эйлеров цикл существует, если все вершины имеют четную степень.
• Эйлеров путь существует, если в графе ровно две вершины с нечетной степенью.

В нашем случае, все 8 вершин имеют степень 3 (нечетная). Следовательно, Эйлерова пути или цикла не существует.

Возможность "оборвать" карандаш, проходя два ребра дважды:

Если мы проходим два ребра дважды, то для этих двух ребер мы добавляем еще один проход. Это эквивалентно тому, что степень этих двух вершин, к которым принадлежат эти ребра, увеличивается на 2 (одно ребро проходим дважды — это как будто мы добавили еще одно ребро, соединяющее те же две вершины, что и первоначальное ребро).

Но это не совсем верно. Прохождение ребра дважды увеличивает степень его концов на 2. То есть, если ребро (u, v) проходится дважды, то степень u увеличивается на 2, и степень v увеличивается на 2.

В нашем случае, все 8 вершин имеют степень 3. Если мы проходим одно ребро дважды, то две вершины, связанные этим ребром, будут иметь степень $$3+2=5$$. Остальные 6 вершин останутся с нечетной степенью 3. В итоге у нас будет 8 вершин с нечетной степенью.

Если проходить два разных ребра дважды, то:

• Если эти два ребра имеют общую вершину, например, $$e_1=(u,v)$$ и $$e_2=(u,w)$$, то степень $$u$$ увеличится на $$2+2=4$$, а степени $$v$$ и $$w$$ увеличатся на 2. Тогда вершины $$v$$ и $$w$$ будут иметь степень $$3+2=5$$. Вершина $$u$$ будет иметь степень $$3+4=7$$. Остальные 5 вершин останутся с нечетной степенью 3. В итоге у нас будет $$5+2=7$$ вершин с нечетной степенью.
• Если эти два ребра не имеют общих вершин, например, $$e_1=(u,v)$$ и $$e_2=(x,y)$$, то степени $$u, v, x, y$$ увеличатся на 2. Они станут $$3+2=5$$. Остальные 4 вершины останутся с нечетной степенью 3. В итоге у нас будет $$4+4=8$$ вершин с нечетной степенью.

В любом случае, мы получаем больше двух вершин с нечетной степенью. Поэтому, невозможно пройти все ребра ровно один раз, или пройти все ребра, два из которых пройдены дважды, так, чтобы завершить проход.

Вывод:

Нет, Саша не сможет "оборвать" карандаш таким образом, чтобы каждое ребро было пройдено ровно один раз, или чтобы два ребра были пройдены дважды, а остальные один раз, и при этом пройти весь карандаш.

Граф, который можно представить:

Граф — это прямоугольный параллелепипед. У него 8 вершин и 12 ребер.

Ответ: Нет, нельзя. Граф — прямоугольный параллелепипед, у которого 8 вершин степени 3.