Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.

Так как точка M равноудалена от всех вершин четырехугольника ABCD, то AM = BM = CM = DM. Следовательно, M - центр окружности, описанной около этого четырехугольника, а AD - диаметр этой окружности. Так как AM = BM = CM = DM, то треугольники ABM и CDM - равнобедренные. $$\angle BAM = \angle ABM$$, $$\angle CDM = \angle DCM$$ $$\angle B = 129^\circ$$, $$\angle C = 96^\circ$$ $$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$ $$\angle A + \angle D = 360^\circ - 129^\circ - 96^\circ = 135^\circ$$ $$\angle ABM + \angle DCM = 129^\circ - \angle MBA + 96^\circ - \angle MCD$$ Обозначим $$\angle ABM = x$$, $$\angle DCM = y$$. Тогда $$\angle BAM = x$$, $$\angle CDM = y$$. $$\angle A = x + \angle MAD$$, $$\angle D = y + \angle MDA$$ $$\angle A + \angle D = x + y = 135^\circ$$ Рассмотрим треугольник BCM. BM = CM, следовательно, он равнобедренный. Пусть $$\angle MBC = \alpha$$, $$\angle MCB = \beta$$. Тогда $$\angle BMC = 180^\circ - (\alpha + \beta)$$. Так как BM = CM = AM = DM, то AD - диаметр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. Значит, углы ABC и ADC опираются на этот диаметр и должны быть прямыми, что противоречит условию. Четырехугольник ABCD - вписанный. Значит, $$\angle B + \angle D = 180^\circ$$ и $$\angle A + \angle C = 180^\circ$$. $$\angle D = 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ$$ $$\angle A = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$$ Рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов: $$\frac{BC}{\sin A} = 2R$$, где R - радиус описанной окружности. $$2R = AD = \frac{BC}{\sin A} = \frac{8}{\sin 84^\circ} \approx \frac{8}{0.9945} \approx 8.044$$ Ответ: AD ≈ 8.044