Точка K – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Обозначим основания трапеции ABCD как BC = a и AD = b, а высоту трапеции как h. Площадь трапеции равна: $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h$$ Проведём высоту трапеции из точки K. Так как K - середина CD, высота из K до AD и BC будет равна h/2. Площадь треугольника ABK можно представить как сумму площадей двух треугольников: BCK и ADK, плюс площадь трапеции BCKD. Рассмотрим треугольники BCK и ADK. Их общая высота (от K до AD или BC) равна h/2. Тогда: $$S_{BCK} = \frac{1}{2} a \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$$ $$S_{ADK} = \frac{1}{2} b \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}$$ Площадь трапеции KABC составляет половину от общей площади. Площадь треугольника KAB составляет половину площади трапеции ABCD. $$S_{KAB} = S_{ABCD} - S_{BCK} - S_{ADK} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh - \frac{ah}{4} - \frac{bh}{4}$$ $$S_{KAB} = \frac{ah}{4} + \frac{bh}{4} = \frac{(a+b)h}{4}$$ Но из этого следует, что площадь трапеции в два раза больше, чем площадь треугольника KAB. $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2}h = 2 \cdot S_{KAB}$$ Проведём среднюю линию трапеции MN, где M - середина AB, N - середина CD. Тогда MN = (a+b)/2. Высота треугольника KAB равна высоте трапеции, то есть h. Площадь треугольника KAB: $$S_{KAB} = \frac{1}{2} (a+b)/2 \cdot h = \frac{(a+b)h}{4}$$ А площадь трапеции ABCD: $$S_{ABCD} = \frac{(a+b)h}{2}$$ Таким образом, площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции ABCD, что и требовалось доказать.