Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 10, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

Поскольку середина M стороны AD равноудалена от всех вершин четырехугольника ABCD, то AM = BM = CM = DM.

Тогда M - центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD, а AD - диаметр этой окружности.

Следовательно, AM = BM = CM = DM = R (радиус окружности).

Тогда AD = 2R.

Рассмотрим треугольник BMC. BM = CM = R, BC = 10, угол B = 112°, угол C = 113°.

Тогда угол BMC = 360° - 112° - 113° - (угол A + угол D). Но поскольку точки A, B, C, D лежат на окружности, то угол B + угол D = 180°, угол A + угол C = 180°.

Тогда угол D = 180° - 112° = 68°, угол A = 180° - 113° = 67°.

Треугольник BMC - равнобедренный, BM = CM. Угол MBC = (180° - 113°)/2 = 33.5°. Угол MCB = (180° - 112°)/2 = 34°.

Угол BMC = 180° - 33.5° - 34° = 112.5°.

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle BMC} = 2R$$

$$\frac{10}{\sin 112.5} = 2R$$

$$\frac{10}{\sin 112.5} = AD$$

AD = 10 / sin(112.5)

AD ≈ 10.82

Ответ: 10.82