Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

Решение:

Теорема о биссектрисе угла: Любая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, и наоборот, любая точка, равноудаленная от сторон неразвернутого угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство:

1. Рассмотрим угол \( \angle AOB \) и его биссектрису \( OC \). Возьмём произвольную точку \( M \) на биссектрисе \( OC \).
2. Из точки \( M \) проведём перпендикуляры \( MA \) и \( MB \) к сторонам угла \( OA \) и \( OB \) соответственно.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle MAO \) и \( \triangle MBO \).
4. У них \( MO \) — общая гипотенуза, \( \angle MAO = \angle MBO = 90^{\circ} \).
5. Так как \( OC \) — биссектриса, то \( \angle MOA = \angle MOB \).
6. По гипотенузе и острому углу \( \triangle MAO = \triangle MBO \).
7. Следовательно, соответствующие стороны равны, в том числе \( MA = MB \). Это означает, что точка \( M \) равноудалена от сторон угла.

Обратное утверждение: Пусть точка \( M \) равноудалена от сторон \( OA \) и \( OB \), т.е. \( MA = MB \). Докажем, что \( M \) лежит на биссектрисе угла.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle MAO \) и \( \triangle MBO \).
2. У них \( MO \) — общая гипотенуза, \( \angle MAO = \angle MBO = 90^{\circ} \), и \( MA = MB \) (по условию).
3. По гипотенузе и катету \( \triangle MAO = \triangle MBO \).
4. Следовательно, равны соответствующие острые углы: \( \angle MOA = \angle MOB \).
5. Значит, \( MO \) — биссектриса угла \( \angle AOB \).

Ответ: Теорема сформулирована и доказана.