Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Решение:

Теорема: Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, и наоборот, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство:

1. Пусть дан отрезок \( AB \) и \( m \) — его серединный перпендикуляр. Пусть \( M \) — произвольная точка на прямой \( m \).
2. Пусть \( O \) — середина отрезка \( AB \). По определению серединного перпендикуляра, \( m \perp AB \) и \( AO = OB \).
3. Рассмотрим треугольники \( \triangle MAO \) и \( \triangle MBO \).
4. У них \( MO \) — общая сторона, \( AO = OB \) (по построению), \( \angle MOA = \angle MOB = 90^{\circ} \) (так как \( m \perp AB \)).
5. По двум сторонам и углу между ними \( \triangle MAO = \triangle MBO \).
6. Следовательно, соответствующие стороны равны, в том числе \( MA = MB \). Это означает, что точка \( M \) равноудалена от концов отрезка \( AB \).

Обратное утверждение: Пусть точка \( M \) равноудалена от концов отрезка \( AB \), т.е. \( MA = MB \). Докажем, что \( M \) лежит на серединном перпендикуляре к \( AB \).

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle MAO \) и \( \triangle MBO \), где \( O \) — середина \( AB \).
2. У них \( MO \) — общая сторона, \( AO = OB \) (по построению), и \( MA = MB \) (по условию).
3. По трём сторонам \( \triangle MAO = \triangle MBO \).
4. Следовательно, равны соответствующие углы: \( \angle MOA = \angle MOB \).
5. Так как \( \angle MOA + \angle MOB = 180^{\circ} \), то \( 2 \angle MOA = 180^{\circ} \), откуда \( \angle MOA = 90^{\circ} \).
6. Значит, \( MO \) является серединным перпендикуляром к отрезку \( AB \), и точка \( M \) лежит на нём.

Ответ: Теорема сформулирована и доказана.