Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника.

Решение:

Теорема: Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1. Через вершины \( A, B, C \) треугольника \( \triangle ABC \) проведём прямые, параллельные противоположным сторонам: \( BC \) через \( A \), \( AC \) через \( B \), \( AB \) через \( C \). Получим треугольник \( \triangle A'B'C' \).
2. \( ABA'C \) — параллелограмм, значит \( A'B = AC \).
3. \( ACBC' \) — параллелограмм, значит \( A'C = BC \).
4. \( BC'BA \) — параллелограмм, значит \( B'C = AB \).
5. Таким образом, \( \triangle A'B'C' \) подобен \( \triangle ABC \) с коэффициентом 2, и его стороны равны сторонам \( \triangle ABC \).
6. Высоты \( \triangle ABC \) перпендикулярны сторонам \( \triangle A'B'C' \) (например, \( AH_a \) перпендикулярна \( BC \), а \( A'B \) параллельна \( BC \), значит \( AH_a \) перпендикулярна \( A'B \)).
7. Высоты \( \triangle ABC \) являются высотами \( \triangle A'B'C' \) (или их продолжениями).
8. Мы знаем, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Пусть эта точка — \( H \).
9. Следовательно, высоты \( \triangle ABC \) пересекаются в точке \( H \).

Ответ: Теорема сформулирована и доказана.