Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

Решение:

Теорема о законах сложения векторов утверждает, что сложение векторов подчиняется переместительному (коммутативному) и сочетательному (ассоциативному) законам.

1. Переместительный (Коммутативный) закон:

Формулировка: От перемены мест слагаемых сумма векторов не меняется. Для любых векторов $$\\vec{a}$$ и $$\\vec{b}$$ верно равенство: $$\\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$.

Доказательство (с использованием правила параллелограмма):

1. Пусть даны два вектора $$\\vec{a}$$ и $$\\vec{b}$$. Отложим их от одной точки O, получив точки A и B соответственно.
2. Построим параллелограмм OACB, где $$\\vec{OA} = \vec{a}$$ и $$\\vec{OB} = \vec{b}$$.
3. Диагональ OC этого параллелограмма представляет собой сумму векторов $$\\vec{a}$$ и $$\\vec{b}$$: $$\\vec{OC} = \vec{a} + \vec{b}$$.
4. Так как OACB — параллелограмм, то $$\\vec{AC} = \vec{OB} = \vec{b}$$ и $$\\vec{BC} = \vec{OA} = \vec{a}$$.
5. Рассмотрим сумму векторов $$\\vec{b} + \vec{a}$$. По правилу треугольника, отложив $$\\vec{b}$$ (вектор OB) и затем от его конца (точка B) вектор $$\\vec{a}$$ (вектор BC), мы получим вектор $$\\vec{OC}$$.
6. Следовательно, $$\\vec{a} + \vec{b} = \vec{OC} = \vec{b} + \vec{a}$$.

2. Сочетательный (Ассоциативный) закон:

Формулировка: Сумма трёх векторов равна сумме первого вектора и суммы двух других векторов. Для любых векторов $$\\vec{a}$$, $$\\vec{b}$$ и $$\\vec{c}$$ верно равенство: $$(\\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$.

Доказательство (с использованием правила треугольника):

1. От произвольной точки A отложим векторы $$\\vec{a}$$, $$\\vec{b}$$ и $$\\vec{c}$$ последовательно.
2. Пусть $$\\vec{AB} = \vec{a}$$, $$\\vec{BC} = \vec{b}$$, $$\\vec{CD} = \vec{c}$$.
3. По правилу треугольника, сумма первых двух векторов: $$\\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}$$.
4. Тогда левая часть равенства: $$(\\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{AC} + \vec{CD}$$. По правилу треугольника, это равно $$\\vec{AD}$$.
5. Теперь рассмотрим правую часть: $$\\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$. Сумма последних двух векторов: $$\\vec{b} + \vec{c} = \vec{BD}$$.
6. Тогда правая часть: $$\\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{AB} + \vec{BD}$$. По правилу треугольника, это равно $$\\vec{AD}$$.
7. Так как обе части равенства равны $$\\vec{AD}$$, то $$(\\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$$.

Вывод: Законы сложения векторов позволяют выполнять операции над векторами аналогично операциям над числами.