2) Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных фигур.

Теорема об отношении площадей подобных фигур:

Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

Пусть даны две подобные фигуры F₁ и F₂ с коэффициентом подобия k. Это означает, что все линейные размеры фигуры F₂ в k раз больше соответствующих размеров фигуры F₁.

Рассмотрим случай, когда F₁ и F₂ - многоугольники. Любой многоугольник можно разбить на треугольники. Поэтому, достаточно доказать теорему для треугольников.

Пусть даны два подобных треугольника ABC и A'B'C', где A'B' = k * AB, B'C' = k * BC, A'C' = k * AC. То есть коэффициент подобия равен k.

Площадь треугольника ABC равна: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} * AB * BC * \sin(\angle B)$$.

Площадь треугольника A'B'C' равна: $$S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} * A'B' * B'C' * \sin(\angle B')$$.

Так как треугольники ABC и A'B'C' подобны, то $$\angle B = \angle B'$$

Тогда:

$$S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} * (k * AB) * (k * BC) * \sin(\angle B) = k^2 * (\frac{1}{2} * AB * BC * \sin(\angle B)) = k^2 * S_{ABC}$$.

Следовательно, $$\frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = k^2$$.

Что и требовалось доказать.