Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Задание 4. Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Формулировка: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (отношению соответственных сторон).

Доказательство:

Пусть даны два подобных треугольника: \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \).

Пусть коэффициент подобия равен \( k \). Это означает, что:

\[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \]

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} × \text{основание} × \text{высота} \]

Пусть \( h_c \) — высота, проведённая к стороне \( AB \) в \( \triangle ABC \), и \( h_{c_1} \) — высота, проведённая к стороне \( A_1B_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \).

Так как треугольники подобны, то их соответствующие высоты также относятся как коэффициент подобия:

\[ \frac{h_c}{h_{c_1}} = k \]

Теперь найдём отношение площадей:

\[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} × AB × h_c}{\frac{1}{2} × A_1B_1 × h_{c_1}} \]

Сократим \( \frac{1}{2} \) и перегруппируем:

\[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB}{A_1B_1} × \frac{h_c}{h_{c_1}} \]

Так как \( \frac{AB}{A_1B_1} = k \) и \( \frac{h_c}{h_{c_1}} = k \), подставим эти значения:

\[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k × k = k^2 \]

Таким образом, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Теорема доказана.