Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

Задание 5. Первый признак подобия треугольников

Формулировка: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

Дано:

• \( \angle A = \angle A_1 \)
• \( \angle B = \angle B_1 \)

Доказать: \( \triangle ABC r \triangle A_1B_1C_1 \) (треугольники подобны).

Доказательство:

Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \).

Для \( \triangle ABC \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).

Для \( \triangle A_1B_1C_1 \): \( \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ \).

Из равенства углов \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \) следует, что:

\[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \]

\[ \angle C_1 = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 \]

Так как \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \), то \( \angle C = \angle C_1 \).

Таким образом, мы доказали, что все три пары соответственных углов равны.

Следовательно, по определению подобных треугольников, \( \triangle ABC r \triangle A_1B_1C_1 \).

Теорема доказана.