Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 6. Второй признак подобия треугольников
Формулировка: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
Дано:
- \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \) (стороны пропорциональны)
- \( \angle A = \angle A_1 \) (угол между сторонами равен)
Доказать: \( \triangle ABC r \triangle A_1B_1C_1 \) (треугольники подобны).
Доказательство:
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Треугольники равны.
Если \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \), то все их стороны и углы равны. Следовательно, они подобны с коэффициентом подобия \( k = 1 \).
Случай 2: Треугольники не равны.
Предположим, что \( \triangle ABC \) не равен \( \triangle A_1B_1C_1 \). Без потери общности, будем считать, что \( AB < A_1B_1 \).
Отложим на стороне \( A_1B_1 \) отрезок \( A_1D \) так, чтобы \( A_1D = AB \).
Проведём через точку \( D \) прямую \( DE \), параллельную \( B_1C_1 \), где \( E \) — точка на \( A_1C_1 \).
Получим треугольник \( \triangle A_1DE \).
Так как \( DE ‖ B_1C_1 \), то \( \angle A_1DE = \angle B_1 \) и \( \angle A_1ED = \angle C_1 \) (как соответственные углы при параллельных прямых).
Также \( \angle A_1 = \angle A \) (по условию).
Следовательно, \( \triangle A_1DE r \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку подобия (по двум углам).
Из подобия \( \triangle A_1DE r \triangle A_1B_1C_1 \) следует, что:
\[ \frac{A_1D}{A_1B_1} = \frac{A_1E}{A_1C_1} \]
По построению \( A_1D = AB \), значит:
\[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{A_1E}{A_1C_1} \]
По условию теоремы, \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \). Сравнивая это с полученным равенством, имеем:
\[ \frac{A_1E}{A_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \]
Это означает, что \( A_1E = AC \).
Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1DE \).
У них:
- \( \angle A = \angle A_1 \) (по условию)
- \( AB = A_1D \) (по построению)
- \( AC = A_1E \) (доказано выше)
Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1DE \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует, что \( \angle B = \angle A_1DE \) и \( \angle C = \angle A_1ED \).
Так как \( \triangle A_1DE r \triangle A_1B_1C_1 \), то \( \angle A_1DE = \angle B_1 \) и \( \angle A_1ED = \angle C_1 \).
Отсюда следует, что \( \angle B = \angle B_1 \) и \( \angle C = \angle C_1 \).
Таким образом, у треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) равны все соответственные углы:
- \( \angle A = \angle A_1 \)
- \( \angle B = \angle B_1 \)
- \( \angle C = \angle C_1 \)
А также пропорциональны соответственные стороны (по условию и по равенству треугольников):
- \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \)
- \( \frac{BC}{DE} = \frac{AB}{A_1D} = \frac{AC}{A_1E} \). Так как \( DE = B_1C_1 \) (из равенства \( \triangle ABC = \triangle A_1DE \)), то \( \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \).
Следовательно, \( \triangle ABC r \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку подобия.
Теорема доказана.
