2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

Доказательство теоремы о средней линии треугольника:

Пусть дан треугольник ABC, где M и N - середины сторон AB и BC соответственно. MN - средняя линия.

Докажем, что MN || AC и MN = 1/2 AC.

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол B - общий. Так как M и N - середины сторон, то BM = 1/2 BA и BN = 1/2 BC. Следовательно, стороны BM и BN пропорциональны сторонам BA и BC.

Значит, треугольники ABC и MBN подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что угол BMN = углу BAC, а угол BNM = углу BCA. Так как соответственные углы равны, то MN || AC.

Также из подобия треугольников следует, что MN/AC = BM/BA = 1/2. Следовательно, MN = 1/2 AC.

Ответ: смотри решение