Simplify the expression: \(\frac{4x-y}{x^2-y^2} + \frac{1}{x-y}\)

Решение:

Для упрощения выражения приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( x^2-y^2 \) и \( x-y \) — это \( x^2-y^2 \), так как \( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \).

1. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на \( x+y \):
   \( \frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y) \cdot (x+y)} = \frac{x+y}{x^2-y^2} \)
2. Теперь сложим дроби:
   \( \frac{4x-y}{x^2-y^2} + \frac{x+y}{x^2-y^2} = \frac{(4x-y) + (x+y)}{x^2-y^2} \)
3. Упростим числитель:
   \( 4x - y + x + y = 5x \)
4. Итоговое выражение: \( \frac{5x}{x^2-y^2} \)

Ответ: \( \frac{5x}{x^2-y^2} \).