6. 14sin² x + 4cos2x = 11sin 2x – 4

Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$. Также используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2x + cos^2x = 1$$, откуда $$cos^2x = 1 - sin^2x$$. Подставим в уравнение:

$$14\sin^2 x + 4(\cos^2 x - \sin^2 x) = 11\sin 2x - 4$$

$$14\sin^2 x + 4(1 - \sin^2 x - \sin^2 x) = 11\sin 2x - 4$$

$$14\sin^2 x + 4(1 - 2\sin^2 x) = 11\sin 2x - 4$$

$$14\sin^2 x + 4 - 8\sin^2 x = 11\sin 2x - 4$$

$$6\sin^2 x + 8 = 11\sin 2x$$

$$11\sin 2x - 6\sin^2 x - 8 = 0$$

$$11 \cdot 2\sin x \cos x - 6\sin^2 x - 8 = 0$$

$$22\sin x \cos x - 6\sin^2 x - 8 = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$ (предполагая, что $$cos x
eq 0$$):

$$22\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 6\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 8\frac{1}{\cos^2 x} = 0$$

$$22\tan x - 6\tan^2 x - 8(1 + \tan^2 x) = 0$$

$$22\tan x - 6\tan^2 x - 8 - 8\tan^2 x = 0$$

$$-14\tan^2 x + 22\tan x - 8 = 0$$

Разделим обе части уравнения на -2:

$$7\tan^2 x - 11\tan x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно tan x. Пусть $$y = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$7y^2 - 11y + 4 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 121 - 112 = 9 = 3^2$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{11 + 3}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$$,

$$y_2 = \frac{11 - 3}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$$.

Вернемся к замене:

$$\tan x = 1$$, или $$\tan x = \frac{4}{7}$$.

Решим уравнения:

$$x = \arctan(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, или $$x = \arctan(\frac{4}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$.

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, или $$x = \arctan(\frac{4}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, или $$x = \arctan(\frac{4}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$