5. 2sin2x - 7sin 2x = 16cos² x

Используем формулу синуса двойного угла: $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$. Подставим в уравнение:

$$2\sin^2 x - 7 \cdot 2\sin x \cos x = 16\cos^2 x$$

$$2\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 16\cos^2 x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$ (предполагая, что $$cos x
eq 0$$):

$$2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 14\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 16\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

$$2\tan^2 x - 14\tan x - 16 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$\tan^2 x - 7\tan x - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно tan x. Пусть $$y = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - 7y - 8 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$$,

$$y_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$$.

Вернемся к замене:

$$\tan x = 8$$, или $$\tan x = -1$$.

Решим уравнения:

$$x = \arctan(8) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, или $$x = \arctan(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$.

$$x = \arctan(8) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, или $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x = \arctan(8) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, или $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$