3. 2sin2x + 11sin x cos x + 14cos² x = 0

Решим тригонометрическое уравнение $$2\sin^2x + 11\sin x \cos x + 14\cos^2 x = 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x$$ (при условии, что $$\cos x
e 0$$):

$$2\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 11\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 14\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

$$2\tan^2x + 11\tan x + 14 = 0$$

Введем замену $$t = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$2t^2 + 11t + 14 = 0$$

$$D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 14 = 121 - 112 = 9$$

$$t_1 = \frac{-11 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

$$t_2 = \frac{-11 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 3}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$$

Вернемся к замене:

1. $$\tan x = -2$$

$$x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$\tan x = -\frac{7}{2}$$

$$x = \arctan\left(-\frac{7}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\arctan\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.

Теперь рассмотрим случай, когда $$\cos x = 0$$. Тогда $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в исходное уравнение:

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) + 11\sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) \cos \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) + 14\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

$$\sin \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0$$

Это неверно, т.к. при $$\cos x = 0$$, $$\sin x = \pm 1$$. Значит, $$\{\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$$ не является решением исходного уравнения.

Ответ: $$x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$; $$x = -\arctan\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.