(sin 7π/8 - cos 7π/8)²

Решение:

Раскроем квадрат разности по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

\( \left( \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{7\pi}{8} \right)^2 = \sin^2 \frac{7\pi}{8} - 2 \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} + \cos^2 \frac{7\pi}{8} \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \) и формулу двойного угла для синуса \( 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha) \).

\( \left( \sin^2 \frac{7\pi}{8} + \cos^2 \frac{7\pi}{8} \right) - \left( 2 \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} \right) = 1 - \sin\left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = 1 - \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \)

Значение \( \sin \frac{7\pi}{4} = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( 1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\).