Система уравнений: \(\begin{cases}\log_2(x+y)=2,\\ \log_2x=1-\log_2y.\end{cases}\)

Из первого уравнения получаем \(x+y=4\). Во втором уравнении перенесём логарифм: \(\log_2x+\log_2y=1\), откуда \(xy=2\). Также ОДЗ требует \(x>0\) и \(y>0\).

Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 4 и произведение 2, поэтому они являются корнями уравнения \(t^2-4t+2=0\).

\(t=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}2=2\pm\sqrt2\).

Поскольку уравнения симметричны относительно \(x\) и \(y\), получаем обе пары.

Ответ: \((x,y)=(2+\sqrt2,\,2-\sqrt2)\) или \((2-\sqrt2,\,2+\sqrt2)\).