4. Сколько пятизначных натуральных чисел, состоящих из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5: а) содержат ровно одну четвёрку; б) делятся на 5?

Окей, давай разбираться с пятизначными числами, где есть четвёрка и которые делятся на 5.

а) Ровно одна четвёрка

Пятизначное число: _ _ _ _ _. У нас есть только одна четвёрка, и надо посчитать, сколько вариантов её расположения и других цифр.

• Первая цифра: 5 вариантов (1, 2, 3, 5 — ноль нельзя, четвёрка уже учтена).
• Остальные 4 цифры:
  • Одна позиция для четвёрки (4 варианта, так как первое место уже занято).
  • Остальные 3 позиции: 5 вариантов (0, 1, 2, 3, 5 — четвёрка исключена).

Итого: \(5 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2500\)

б) Делятся на 5

Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5.

• Последняя цифра 0:
  • Первая цифра: 5 вариантов (1, 2, 3, 4, 5).
  • Остальные 3 цифры: 6 вариантов (0, 1, 2, 3, 4, 5).
• Последняя цифра 5:
  • Первая цифра: 5 вариантов (1, 2, 3, 4 — ноль нельзя).
  • Остальные 3 цифры: 6 вариантов (0, 1, 2, 3, 4, 5).

Итого: \(5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 + 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 2160\)

Ответ: а) 2500, б) 2160