3. Сколько существует семизначных натуральных чисел, в которых: а) все цифры, стоящие на нечётных местах, различны? б) в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра?

Ого, тут уже интереснее. Надо разбить задачу на две части и разобраться с каждой по очереди.

а) Все цифры на нечётных местах различны?

Семизначное число выглядит так: _ _ _ _ _ _ _. Нечётные места: 1, 3, 5, 7. Значит, на этих местах должны стоять разные цифры.

• Первая цифра: может быть любой из 9 (от 1 до 9, так как число не может начинаться с 0).
• Третья цифра: может быть любой из оставшихся 9 (10 цифр минус та, что на первом месте).
• Пятая цифра: может быть любой из оставшихся 8.
• Седьмая цифра: может быть любой из оставшихся 7.
• Чётные места (2, 4, 6): на каждом из них может стоять любая из 10 цифр.

Перемножаем все варианты: \(9 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 7 = 4536000\)

б) В записи есть хотя бы одна нечётная цифра?

Тут проще посчитать от обратного. Найдем количество семизначных чисел, в которых только чётные цифры, и вычтем это число из общего количества семизначных чисел.

• Всего семизначных чисел: от 1000000 до 9999999, то есть 9000000 чисел.
• Числа только с чётными цифрами:
  • Первая цифра: 4 варианта (2, 4, 6, 8).
  • Остальные 6 цифр: 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).

Итого: \(4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125000\). Вычитаем из общего количества: \(9000000 - 125000 = 8875000\)

Ответ: а) 4536000, б) 8875000