465 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; 6) 60°; в) 120°; г) 108°?

Сумма углов выпуклого n-угольника равна $$(n-2) \cdot 180^\circ$$. Каждый угол правильного n-угольника равен $$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$$. Обозначим угол многоугольника как α.

$$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = α$$

$$180n - 360 = αn$$

$$180n - αn = 360$$

$$n(180 - α) = 360$$

$$n = \frac{360}{180 - α}$$

а) Если α = 90°:

$$n = \frac{360}{180 - 90} = \frac{360}{90} = 4$$

Четырехугольник.

б) Если α = 60°:

$$n = \frac{360}{180 - 60} = \frac{360}{120} = 3$$

Треугольник.

в) Если α = 120°:

$$n = \frac{360}{180 - 120} = \frac{360}{60} = 6$$

Шестиугольник.

г) Если α = 108°:

$$n = \frac{360}{180 - 108} = \frac{360}{72} = 5$$

Пятиугольник.

Ответ: а) 4, б) 3, в) 6, г) 5.