239 Случайный эксперимент заключается в пятикратном оросании симметрич монеты. Найдите вероятность события: а) «решка выпадет ровно 3 раза»; б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»; в) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»; г) «орёл выпадет нечётное число раз».

Решение:

В данной задаче мы имеем дело с биномиальным распределением, так как каждый бросок монеты - это независимое испытание с двумя исходами: успех (например, выпадение решки) и неудача (выпадение орла). Вероятность успеха и неудачи одинаковы и равны 0,5, так как монета симметричная.

Формула Бернулли имеет вид:

\[ P(k; n, p) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( P(k; n, p) \) - вероятность наступления ровно k успехов в n испытаниях,
• \( C_n^k \) - количество сочетаний из n по k,
• \( p \) - вероятность успеха в одном испытании,
• \( n \) - количество испытаний,
• \( k \) - количество успехов.

a) Вероятность, что решка выпадет ровно 3 раза:

Здесь \( n = 5 \), \( k = 3 \), \( p = 0.5 \).

\[ P(3; 5, 0.5) = C_5^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} \]

Считаем \( C_5^3 \):

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ P(3; 5, 0.5) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125 \]

б) Вероятность, что орёл выпадет от двух до четырёх раз:

Нужно сложить вероятности для 2, 3 и 4 орлов.

Для 2 орлов: \( n = 5 \), \( k = 2 \), \( p = 0.5 \)

\[ P(2; 5, 0.5) = C_5^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{5-2} \] \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ P(2; 5, 0.5) = 10 \cdot 0.25 \cdot 0.125 = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125 \]

Для 3 орлов (как в пункте a):

\[ P(3; 5, 0.5) = 0.3125 \]

Для 4 орлов: \( n = 5 \), \( k = 4 \), \( p = 0.5 \)

\[ P(4; 5, 0.5) = C_5^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{5-4} \] \[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5 \] \[ P(4; 5, 0.5) = 5 \cdot 0.0625 \cdot 0.5 = 5 \cdot 0.03125 = 0.15625 \]

Суммарная вероятность:

\[ P = 0.3125 + 0.3125 + 0.15625 = 0.78125 \]

в) Вероятность, что решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза:

Для 1 решки: \( n = 5 \), \( k = 1 \), \( p = 0.5 \)

\[ P(1; 5, 0.5) = C_5^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{5-1} \] \[ C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5 \] \[ P(1; 5, 0.5) = 5 \cdot 0.5 \cdot 0.0625 = 5 \cdot 0.03125 = 0.15625 \]

Для 3 решек (как в пункте a):

\[ P(3; 5, 0.5) = 0.3125 \]

Суммарная вероятность:

\[ P = 0.15625 + 0.3125 = 0.46875 \]

г) Вероятность, что орёл выпадет нечётное число раз:

Нечётные числа: 1, 3, 5.

Для 1 орла: \( n = 5 \), \( k = 1 \), \( p = 0.5 \)

\[ P(1; 5, 0.5) = 0.15625 \] (как в пункте в)

Для 3 орлов:

\[ P(3; 5, 0.5) = 0.3125 \] (как в пункте a)

Для 5 орлов: \( n = 5 \), \( k = 5 \), \( p = 0.5 \)

\[ P(5; 5, 0.5) = C_5^5 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{5-5} \] \[ C_5^5 = 1 \] \[ P(5; 5, 0.5) = 1 \cdot 0.03125 \cdot 1 = 0.03125 \]

Суммарная вероятность:

\[ P = 0.15625 + 0.3125 + 0.03125 = 0.5 \]

Ответ:

а) 0.3125

б) 0.78125

в) 0.46875

г) 0.5

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что вы правильно применили формулу Бернулли и учли все возможные исходы для каждого пункта.

Доп. профит: Запомни, что в задачах с симметричной монетой вероятность выпадения орла или решки одинакова и равна 0.5. Это упрощает вычисления!