241 В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью q= Найдите вероятность того, что в серии из 5 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; б) наступит ровно 1 успех; в)* наступит более 2 успехов; г)* наступит менее 4 успехов.

Решение:

В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью q. Значит, вероятность успеха p = 1 - q.

a) Вероятность, что наступит ровно 2 успеха:

Используем формулу Бернулли:

\[ P(k; n, p) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Здесь \( n = 5 \), \( k = 2 \), \( p = 1 - q \).

\[ P(2; 5, 1-q) = C_5^2 \cdot (1-q)^2 \cdot q^{5-2} = C_5^2 \cdot (1-q)^2 \cdot q^3 \]

Вычисляем \( C_5^2 \):

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ P(2; 5, 1-q) = 10 \cdot (1-q)^2 \cdot q^3 \]

б) Вероятность, что наступит ровно 1 успех:

Здесь \( n = 5 \), \( k = 1 \), \( p = 1 - q \).

\[ P(1; 5, 1-q) = C_5^1 \cdot (1-q)^1 \cdot q^{5-1} = C_5^1 \cdot (1-q) \cdot q^4 \]

Вычисляем \( C_5^1 \):

\[ C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5 \] \[ P(1; 5, 1-q) = 5 \cdot (1-q) \cdot q^4 \]

в) Вероятность, что наступит более 2 успехов:

Надо сложить вероятности для 3, 4 и 5 успехов.

\[ P(\text{более 2 успехов}) = P(3) + P(4) + P(5) \]

Для 3 успехов:

\[ P(3; 5, 1-q) = C_5^3 \cdot (1-q)^3 \cdot q^{5-3} = C_5^3 \cdot (1-q)^3 \cdot q^2 \] \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ P(3; 5, 1-q) = 10 \cdot (1-q)^3 \cdot q^2 \]

Для 4 успехов:

\[ P(4; 5, 1-q) = C_5^4 \cdot (1-q)^4 \cdot q^{5-4} = C_5^4 \cdot (1-q)^4 \cdot q \] \[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5 \] \[ P(4; 5, 1-q) = 5 \cdot (1-q)^4 \cdot q \]

Для 5 успехов:

\[ P(5; 5, 1-q) = C_5^5 \cdot (1-q)^5 \cdot q^{5-5} = C_5^5 \cdot (1-q)^5 \cdot 1 \] \[ C_5^5 = 1 \] \[ P(5; 5, 1-q) = (1-q)^5 \] \[ P(\text{более 2 успехов}) = 10 \cdot (1-q)^3 \cdot q^2 + 5 \cdot (1-q)^4 \cdot q + (1-q)^5 \]

г) Вероятность, что наступит менее 4 успехов:

Надо сложить вероятности для 0, 1, 2 и 3 успехов.

Но проще вычесть из 1 вероятности 4 и 5 успехов.

\[ P(\text{менее 4 успехов}) = 1 - P(4) - P(5) \]

Для 4 успехов (как в пункте в):

\[ P(4; 5, 1-q) = 5 \cdot (1-q)^4 \cdot q \]

Для 5 успехов (как в пункте в):

\[ P(5; 5, 1-q) = (1-q)^5 \] \[ P(\text{менее 4 успехов}) = 1 - 5 \cdot (1-q)^4 \cdot q - (1-q)^5 \]

Ответ:

а) \( 10 \cdot (1-q)^2 \cdot q^3 \)

б) \( 5 \cdot (1-q) \cdot q^4 \)

в) \( 10 \cdot (1-q)^3 \cdot q^2 + 5 \cdot (1-q)^4 \cdot q + (1-q)^5 \)

г) \( 1 - 5 \cdot (1-q)^4 \cdot q - (1-q)^5 \)

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что правильно используете формулу Бернулли и не забываете вычислять сочетания \( C_n^k \).

Доп. профит: Читерский прием: Сумма вероятностей всех возможных исходов всегда равна 1. Используйте это для проверки!