235 В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью р-65 Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха: б) наступит ровно 1 успех; в) наступит ровно 3 успеха: г) все испытания окончатся неудачник

Решение данной задачи требует знания формулы Бернулли: $$P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n-k}$$, где: $$P_n(k)$$ - вероятность того, что в $$n$$ испытаниях успех наступит ровно $$k$$ раз, $$C_n^k$$ - количество сочетаний из $$n$$ по $$k$$, $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании, $$q$$ - вероятность неудачи в одном испытании ($$q = 1 - p$$). В данной задаче $$n = 4$$, $$p = 0.5$$, $$q = 1 - 0.5 = 0.5$$. а) Наступит ровно 2 успеха: $$P_4(2) = C_4^2 * (0.5)^2 * (0.5)^{4-2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} * (0.5)^2 * (0.5)^2 = \frac{4*3}{2*1} * 0.25 * 0.25 = 6 * 0.0625 = 0.375$$ б) Наступит ровно 1 успех: $$P_4(1) = C_4^1 * (0.5)^1 * (0.5)^{4-1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} * 0.5 * (0.5)^3 = 4 * 0.5 * 0.125 = 4 * 0.0625 = 0.25$$ в) Наступит ровно 3 успеха: $$P_4(3) = C_4^3 * (0.5)^3 * (0.5)^{4-3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} * (0.5)^3 * (0.5)^1 = 4 * 0.125 * 0.5 = 4 * 0.0625 = 0.25$$ г) Все испытания окончатся неудачей (то есть, 0 успехов): $$P_4(0) = C_4^0 * (0.5)^0 * (0.5)^{4-0} = 1 * 1 * (0.5)^4 = 0.0625$$ Ответ: а) 0.375, б) 0.25, в) 0.25, г) 0.0625