Сократите дробь \(\frac{6x^2+7x-3}{2x^2+21x+27}\)

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Числитель:

$$6x^2+7x-3=0$$

$$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121$$

$$x_1 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$$

Следовательно, числитель можно представить в виде:

$$6x^2+7x-3 = 6(x-\frac{1}{3})(x+\frac{3}{2}) = 2(3x-1)(x+\frac{3}{2}) = (3x-1)(2x+3)$$

Знаменатель:

$$2x^2+21x+27 = 0$$

$$D = 21^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 441 - 216 = 225$$

$$x_1 = \frac{-21 + 15}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$

$$x_2 = \frac{-21 - 15}{4} = \frac{-36}{4} = -9$$

Следовательно, знаменатель можно представить в виде:

$$2x^2+21x+27 = 2(x+\frac{3}{2})(x+9) = (2x+3)(x+9)$$

Тогда дробь примет вид:

$$\frac{6x^2+7x-3}{2x^2+21x+27} = \frac{(3x-1)(2x+3)}{(2x+3)(x+9)}$$

Сокращаем дробь на \((2x+3)\):

$$\frac{(3x-1)(2x+3)}{(2x+3)(x+9)} = \frac{3x-1}{x+9}$$

Ответ: \(\frac{3x-1}{x+9}\)