3. Сократите дробь а) 5a²+3a-2.6) б) x+2 / x² + 7x+10 a2-1

3. Сократите дробь

а) $$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1}$$

Разложим числитель на множители:

$$5a^2 + 3a - 2$$

Найдем дискриминант:

$$D = (3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$$

Так как дискриминант больше нуля, то квадратный трехчлен имеет два корня.

$$a_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

$$a_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$

Разложение на множители: $$a(a - a_1)(a - a_2) = 5(a - \frac{2}{5})(a + 1) = (5a - 2)(a + 1)$$.

Разложим знаменатель на множители:

$$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$.

Сократим дробь:

$$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1} = \frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a - 2}{a - 1}$$.

Ответ: $$\frac{5a - 2}{a - 1}$$.

б) $$\frac{x + 2}{x^2 + 7x + 10}$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2 + 7x + 10$$

Найдем дискриминант:

$$D = (7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$$

Так как дискриминант больше нуля, то квадратный трехчлен имеет два корня.

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Разложение на множители: $$(x - x_1)(x - x_2) = (x + 2)(x + 5)$$.

Сократим дробь:

$$\frac{x + 2}{x^2 + 7x + 10} = \frac{x + 2}{(x + 2)(x + 5)} = \frac{1}{x + 5}$$.

Ответ: $$\frac{1}{x + 5}$$.