Сократите дробь: а) \(\frac{12a^6b}{27a^2b^3}\); б) \(\frac{3x^2-15x}{15x}\); в) \(\frac{x^2-16}{2x-8}\).

Решение:

а) Сокращение дроби \(\frac{12a^6b}{27a^2b^3}\):

1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Коэффициенты: НОД(12, 27) = 3. Степени переменных: \(a^6\) и \(a^2\) → \(a^2\); \(b^1\) и \(b^3\) → \(b^1\).
2. Разделим числитель и знаменатель на \(3a^2b\).

\(\frac{12a^6b}{27a^2b^3} = \frac{12}{27} \cdot \frac{a^6}{a^2} \cdot \frac{b}{b^3} = \frac{4}{9} \cdot a^{6-2} \cdot b^{1-3} = \frac{4}{9} a^4 b^{-2} = \frac{4a^4}{9b^2}\)

б) Сокращение дроби \(\frac{3x^2-15x}{15x}\):

1. Вынесем общий множитель \(3x\) из числителя: \(3x^2 - 15x = 3x(x - 5)\).
2. Разделим числитель и знаменатель на \(3x\).

\(\frac{3x(x-5)}{15x} = \frac{3x}{15x} \cdot (x-5) = \frac{1}{5}(x-5) = \frac{x-5}{5}\)

в) Сокращение дроби \(\frac{x^2-16}{2x-8}\):

1. Числитель — разность квадратов: \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\).
2. Знаменатель: вынесем общий множитель 2: \(2x - 8 = 2(x-4)\).
3. Разделим числитель и знаменатель на \((x-4)\).

\(\frac{(x-4)(x+4)}{2(x-4)} = \frac{x+4}{2}\)

Ответ: а) \(\frac{4a^4}{9b^2}\); б) \(\frac{x-5}{5}\); в) \(\frac{x+4}{2}\).