Упростите выражение \(1 - \frac{3x-1}{9x^2+6x+1} - \frac{3x}{3x+1}\).

Решение:

1. Заметим, что знаменатель первой дроби \(9x^2+6x+1\) является полным квадратом: \((3x+1)^2\).
2. Перепишем выражение:

\(1 - \frac{3x-1}{(3x+1)^2} - \frac{3x}{3x+1}\)

1. Приведем все дроби к общему знаменателю \((3x+1)^2\).
2. Преобразуем первую дробь: \(\frac{3x-1}{(3x+1)^2}\).
3. Преобразуем вторую дробь: \(\frac{3x}{3x+1} = \frac{3x(3x+1)}{(3x+1)^2} = \frac{9x^2+3x}{(3x+1)^2}\).
4. Представим 1 как дробь с общим знаменателем: \(1 = \frac{(3x+1)^2}{(3x+1)^2} = \frac{9x^2+6x+1}{(3x+1)^2}\).
5. Выполним вычитание:

\(\frac{9x^2+6x+1}{(3x+1)^2} - \frac{3x-1}{(3x+1)^2} - \frac{9x^2+3x}{(3x+1)^2} = \frac{(9x^2+6x+1) - (3x-1) - (9x^2+3x)}{(3x+1)^2}\)

1. Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{9x^2+6x+1 - 3x+1 - 9x^2-3x}{(3x+1)^2} = \frac{(9x^2-9x^2) + (6x-3x-3x) + (1+1)}{(3x+1)^2} = \frac{0 + 0 + 2}{(3x+1)^2} = \frac{2}{(3x+1)^2}\)

Ответ: \(\frac{2}{(3x+1)^2}\).