624. Сократите дробь: a) 4x + 4 / 3x²+2x-1 ; б) 2a²-5a-3 / 3a - 9

а)

\[\frac{4x+4}{3x^2+2x-1}\]

• Разложим числитель:

\[4x+4 = 4(x+1)\]

• Разложим знаменатель:

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно решить квадратное уравнение и найти корни:

\[3x^2+2x-1=0\]

\[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\]

\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

\[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]

Разложение квадратного трехчлена на множители:

\[ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\]

\[3x^2+2x-1 = 3(x-\frac{1}{3})(x+1) = (3x-1)(x+1)\]

• Сокращаем дробь:

\[\frac{4x+4}{3x^2+2x-1} = \frac{4(x+1)}{(3x-1)(x+1)} = \frac{4}{3x-1}\]

Ответ: \(\frac{4}{3x-1}\)

б)

\[\frac{2a^2-5a-3}{3a-9}\]

• Разложим числитель:

\[2a^2-5a-3=0\]

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\]

\[a_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\]

\[a_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]

\[2a^2-5a-3 = 2(a-3)(a+\frac{1}{2}) = (a-3)(2a+1)\]

• Разложим знаменатель:

\[3a-9 = 3(a-3)\]

• Сокращаем дробь:

\[\frac{2a^2-5a-3}{3a-9} = \frac{(a-3)(2a+1)}{3(a-3)} = \frac{2a+1}{3}\]

Ответ: \(\frac{2a+1}{3}\)