Solve the equation: \(\frac{4x-10}{x-1}\) + \(\frac{x+6}{x+1}\) = 4;

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю
(x-1)(x+1)
, который равен
x^2-1
:

\[
\frac{(4x-10)(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x+6)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = 4
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{4x^2 + 4x - 10x - 10}{(x-1)(x+1)} + \frac{x^2 - x + 6x - 6}{(x+1)(x-1)} = 4
\]

\[
\frac{4x^2 - 6x - 10}{(x-1)(x+1)} + \frac{x^2 + 5x - 6}{(x+1)(x-1)} = 4
\]

Сложим числители:

\[
\frac{4x^2 - 6x - 10 + x^2 + 5x - 6}{(x-1)(x+1)} = 4
\]

\[
\frac{5x^2 - x - 16}{x^2 - 1} = 4
\]

Умножим обе части на
x^2 - 1
:

\[
5x^2 - x - 16 = 4(x^2 - 1)
\]

\[
5x^2 - x - 16 = 4x^2 - 4
\]

Перенесем все члены в левую часть:

\[
5x^2 - 4x^2 - x - 16 + 4 = 0
\]

\[
x^2 - x - 12 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта
D = b^2 - 4ac
:

\[
a = 1, b = -1, c = -12
\]

\[
D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49
\]

\[
\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7
\]

Найдем корни
x
:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

\[
x_1 = \frac{1 + 7}{2(1)} = \frac{8}{2} = 4
\]

\[
x_2 = \frac{1 - 7}{2(1)} = \frac{-6}{2} = -3
\]

Проверим, не обращают ли эти значения знаменатели в ноль. Знаменатели
x-1
и
x+1
обращаются в ноль при
x=1
и
x=-1
. Найденные корни
x=4
и
x=-3
не равны
1
или
-1
, поэтому оба являются решениями.

Ответ:
x=4
,
x=-3