Solve the equation: \(\frac{x-1}{x+2}\) + \(\frac{x}{x-2}\) = \(\frac{8}{x^2-4}\);

Решение:

Сначала разложим знаменатель правой части:
x^2 - 4 = (x-2)(x+2)
.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю
(x+2)(x-2)
.

\[
\frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}
\]

Раскроем скобки в числителях:

\[
\frac{x^2 - 2x - x + 2}{(x+2)(x-2)} + \frac{x^2 + 2x}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}
\]

\[
\frac{x^2 - 3x + 2 + x^2 + 2x}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}
\]

Приведем подобные слагаемые в числителе левой части:

\[
\frac{2x^2 - x + 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}
\]

Так как знаменатели одинаковые, приравняем числители:

\[
2x^2 - x + 2 = 8
\]

Перенесем
8
в левую часть:

\[
2x^2 - x + 2 - 8 = 0
\]

\[
2x^2 - x - 6 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта
D = b^2 - 4ac
:

\[
a = 2, b = -1, c = -6
\]

\[
D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49
\]

\[
\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7
\]

Найдем корни
x
:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

\[
x_1 = \frac{1 + 7}{2(2)} = \frac{8}{4} = 2
\]

\[
x_2 = \frac{1 - 7}{2(2)} = \frac{-6}{4} = -1.5
\]

Важно проверить, не обращают ли найденные корни знаменатель в ноль. Знаменатель
x^2 - 4
равен нулю при
x = 2
и
x = -2
. Поэтому
x = 2
является посторонним корнем.

Единственным решением является
x = -1.5
.

Ответ:
x = -1.5