Solve the equation: \(\frac{x-1}{x+3}\) + \(\frac{x+1}{x-3}\) = \(\frac{2x+18}{x^2-9}\);

Решение:

Сначала заметим, что
x^2 - 9 = (x-3)(x+3)
.

Приведем обе части уравнения к общему знаменателю
(x+3)(x-3)
:

\[
\frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x+18}{(x-3)(x+3)}
\]

Раскроем скобки в числителях:

\[
\frac{x^2 - 3x - x + 3}{(x+3)(x-3)} + \frac{x^2 + 3x + x + 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x+18}{(x-3)(x+3)}
\]

\[
\frac{x^2 - 4x + 3 + x^2 + 4x + 3}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x+18}{(x-3)(x+3)}
\]

Приведем подобные слагаемые в числителе левой части:

\[
\frac{2x^2 + 6}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x+18}{(x-3)(x+3)}
\]

Так как знаменатели одинаковые, приравняем числители:

\[
2x^2 + 6 = 2x + 18
\]

Перенесем все члены в левую часть:

\[
2x^2 - 2x + 6 - 18 = 0
\]

\[
2x^2 - 2x - 12 = 0
\]

Разделим обе части на 2:

\[
x^2 - x - 6 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта
D = b^2 - 4ac
:

\[
a = 1, b = -1, c = -6
\]

\[
D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
\]

\[
\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5
\]

Найдем корни
x
:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

\[
x_1 = \frac{1 + 5}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3
\]

\[
x_2 = \frac{1 - 5}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2
\]

Важно проверить, не обращают ли найденные корни знаменатель в ноль. Знаменатель
x^2 - 9
равен нулю при
x = 3
и
x = -3
. Поэтому
x = 3
является посторонним корнем.

Единственным решением является
x = -2
.

Ответ:
x = -2