4.361 Справедливо ли равенство: a) \( 0,777... = \frac{7}{9} \); б) \( 0,208(3) = \frac{5}{24} \)?

• а) \( 0,777... = \frac{7}{9} \) – это периодическая дробь, где период равен 7. Действительно, \( \frac{7}{9} = 0,777... \)
• б) \( 0,208(3) = \frac{5}{24} \). Преобразуем периодическую дробь \( 0,208(3) \) в обыкновенную. Пусть x = 0,208(3), тогда 1000x = 208,(3) и 10000x = 2083,(3). Вычитая первое уравнение из второго, получаем: 9000x = 1875, откуда \( x = \frac{1875}{9000} = \frac{5}{24} \).

Ответ:

• a) Да, равенство справедливо.
• б) Да, равенство справедливо.