Средняя линия прямоугольной трапеции равна 14 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 1, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому их сумма равна \(2\cdot14=28\) см.

Высота из вершины тупого угла делит большее основание на отрезки: от вершины прямого угла — длиной меньшего основания, а оставшийся отрезок — разностью оснований. По условию их отношение равно \(3:1\). Значит, меньшая основа составляет 3 части, а разность оснований — 1 часть.

Пусть одна часть равна \(x\) см. Тогда основания равны \(3x\) и \(4x\). Из их суммы получаем \(3x+4x=28\), следовательно, \(x=4\).

Ответ: основания трапеции равны 12 см и 16 см.